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在汉到唐这一千多年间，出现了很多的算术书，取其中最有名的十本，合称为《算经十书》:《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》，其中最广为人知的是《九章算术》。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

该著作中包含246个数学应用问题，分别属于方田、粟米、衰(cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及句股这九章。

例如《九章算术》勾股章引葭（jiā）赴岸一题：

原文："今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。"

翻译：现有一水池一丈见方，池中生有一棵初生的芦苇，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该芦苇有多长？

这一问题在世界数学史上很有影响。印度古代数学家婆什迦罗的《丽罗瓦提》一书中有按这一问题改编的"风动红莲"；阿拉伯数学家阿尔?卡西的《算术之钥》也有类似的"池中长茅"问题；欧洲《十六世纪的算术》一书中又有"圆池芦苇"问题。它们比我国要晚几百上千年。

注释：（1）葭：读jia，一声，与"家"发音相同。初生的芦苇。（2）一丈等于十尺。

图示如下。葭尖D被引至岸边的点B处。在这个过程中，认为葭不弯曲，绕根部A整体转动。a为水中央C位到岸边的垂直距离，a=5（尺）；AC=b，为水深；BA=DA=c，为葭长。DC=c－b，为葭露出水面部分的长度，c－b=1（尺）。显然，三角形ABC为直角三角形，c为斜边。

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《九章》中求解的方法是："半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。"转化成公式，为

把相应的已知量直接代入上式，得

即水深为12尺。葭长也容易求出，为12尺加上1尺，等于13尺。在中国古代那个时候，人们想要找到一种最为直接的计算公式，这个公式由已知量给出，于是直接代入已知量便可求出未知量。

那么这个公式是如何得到的呢？我们知道，在一个直角三角形中，如果一直角边是已知的，斜边与另一直角边的差也是已知的，那么，这个直角三角形就是确定的。是确定的，我们自然可以求出斜边和未知直角边的长度。这个公式就是这个意思。

下面我们从勾股定理出发，导出上面的公式。

由上图，显然有：

我们要想办法让已知量c－b出现。若把上式左边利用平方差公式，是可以得到c－b，但同时也得到了c+b。c+b不是已知量，我们不想让它出现在最终的公式中。我们试着想办法得出（c－b）的平方。如下所示：

有了这个公式后，如果葭露出水面2尺，则可以求得水深b为(25－4)/4=5.25尺，葭长为7.25尺。

有了这个公式，还可以解决其他类似问题。《九章算术》也给出了类似的题目

''圆材埋壁"，"今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯刀长一尺。问径几何？"

图示如下。圆材是指圆柱形的木材或石材。下图是横截面图，它是一个圆。劣弧BDE代表露在外面的柱面，优弧BFE代表埋在墙内的柱面，我们看不到。原题所说的"深一寸"是指DC的长度；"锯道长一尺"（1尺等于10寸）是指BE的长度，它的一半正好就是BC，即直角三角形的直角边a，a=5（寸）。图中的b为横截面圆心到墙面的距离AC。图中的c为横截面圆的半径。

有了上面这些解说，我们于是可以应用上一题的那个公式求出b的长度。然后可以求出c。最后求出2c，即横截面圆的直径。

从而c=b+(c－b)=12+1=13(寸)，直径=2c=26(寸)。

以上是直接应用第6题公式求解。这很好！但实际上《九章算术》中这个第9题的解法不是这样的。我下面给出介绍。《九章》中的解法是："半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。"这个方法其实使用了我们现在所说的相交弦定理：圆内两条相交之弦互相分对方所成的两线段的乘积相等（通过相似三角形即可证明其正确性）。即，如果MN和PQ为两条弦，相交于点S，则MS·SN=PS·SQ。

具体到《九章》勾股章的第9题，如下图所示，有BC·CE=DC·CF，

即

所以，

那么，把c+b与c－b两段相加，正好就得到2c，即圆的直径。所以，若设直径为d，则有

这个公式就是《九章》勾股章第9题所采用的方法："半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。"

把已知条件a=5和c－b=1代入，得d=25/1+1=26(寸)，与第一种方法的结果是一样的。

上面这个求直径的公式，是所谓的"弧矢公式"。一般来说，弧矢公式是这样的：有一弓形，已知其弦长为c（注意，与前面使用的c的意思不同，下面的b也不同），弧高为b（如下图所示），则弓形圆弧所在圆的直径d为

最后有两点思考：

（1）我曾在很多中国古代建筑中见到过柱子藏于墙体中，露出一部分柱面。因无法直接测量其直径而采取"以锯锯之"的方法，现在看来不太好。不管圆柱体是什么，"以锯锯之"终归对其产生了损坏，实不可取。其他测量方法其实很多，比如可以利用石膏制作一个凹形圆弧，它当然正好严丝合缝地扣到柱面上，然后我们测这段圆弧的直径即可。

（2）上述题中的圆材，我们一般认为是圆柱形的。但认为它是球形物体，也未尝不可。题目的解法对球一样适用，所求出的直径为球的直径。

"盈还是不足，这是个问题"，小学时候的魔鬼应用题，其实早在千余年前就已经有系统的解法了。例如：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？答曰：九人，鸡价七十。

我们看看我国古代如何求解的：

今解法：设人数为x，鸡价y，则y=9x-11，y=6x+16解得x=9y=70.

古法2，比较好理解为消y的思维，用下式减上式得3x=27能求出人数，再代入求物价。

古法1，过程则有些复杂，但可以理解为我们消x的思维，与消y思维并用3x=27，6y=54x-66，9y=54x+144，相减得到3y=210，y=70.

由此看来，我们的先人在不知道设未知数的列方程的思想之前，也是能想到对应的方法求解问题，有时也不经佩服古人的思想，早在几百年，乃至千年前就能想出这些方法。同时随着时间的发展，我们对技术的革新，也对应产生出了很多新的工具和方法帮助我们解决问题，也是时代进步带给我们的好处。从无到有的过程才是最难的，我们可以学习借用前人留给我们的知识结晶，也会推动时代的发展。

而直到1675年，意大利的数学书还把这个方法叫做"中国算法"。在这本书中提到了直除法，这是世界上最早的完整的线性方程组的解法，本质上就是现在的矩阵初等变换。在这一章里面还出现了负数，而在外国，最早是在7世纪才有负数之说。

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对完善《九章算术》体系作出巨大贡献的刘徽，是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。

他的数学成就大致分为两个方面：

一是整理古代数学体系并奠定其理论基础，这点主要体现在《九章算术注》中，包括了数系理论，面积与体积理论等。现代基础算术中的约分，还有十进制分数无限逼近无理根的想法，都是他的首创。

二是自己的创新，主要在割圆术求圆周率上。

极限的lim符号看起来首先由西方人使用，但是实际上早在古代中国，在求解问题的时候就已经有极限思想了。庄子所说的："一尺之棰，日取其半，万世不竭"就已经存在极限表达"无穷小量"的思想了。

而极限思想在《九章算术》里面主要存在于"方田"这一章，也就是求面积和体积的问题。

刘徽在为《九章算术》作注的时候，首先指出之前的"周三径一"（也就是π=3）其实是圆的内接正六边形周长和直径之比，从而说明这个说法是非常粗疏的。而为了求到圆的面积公式（本质上就是求π），他开始不断地割圆。这就是我们平常说的"割圆术"，也是非常经典的极限思想。他自己也说的："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失也。"

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《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学著作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书;甚至西算传入中国之后，人们著书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。

《九章算术》的意义还远不止于它在中国数学史上的重要地位，更以一系列"世界之最"的成就，反映出我国古代数学在秦汉时期已经取得在全世界领先发展的地位。这种领先地位一直保持到公元十四世纪初。

其实，中国古代数学的辉煌成就和现代中国数学的缺少成就之间的问题，值得我们好好思考一下。也许是因为缺少公理化体系导致证明逻辑过弱的结果，也许是因为中国古典数学后继无人的结果，也许是因为现代的数学教育问题。但是不管怎么样，我们可以见到中国数学再度崛起。

如果说《几何原本》是西方数学史的鼻祖，引导着西方自然科学的发展，那与《几何原本》齐名的《九章算术》，自然就是东方自然科学的原点。

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